Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\dfrac{x-4}{x-1}=-\dfrac{4}{x}
Domaine de définition de l'équation
On recherche les valeurs de x satisfaisant l'équation \dfrac{x-4}{x-1}=-\dfrac{4}{x}.
On note au préalable les conditions d'existence suivantes :
- x-1\neq0 \Leftrightarrow x\neq1
- x\neq0
Les réels 0 et 1 sont donc des valeurs interdites pour l'équation.
Transformation de l'équation
\dfrac{x-4}{x-1}=-\dfrac{4}{x}
\Leftrightarrow \dfrac{x-4}{x-1}+\dfrac{4}{x}=0
\Leftrightarrow \dfrac{x\left(x-4\right)}{x\left(x-1\right)}+\dfrac{4\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{x\left(x-4\right)+4\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-4x+4x-4}{x\left(x-1\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-4}{x\left(x-1\right)}=0
Résolution de l'équation
Or, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul. Ainsi :
\dfrac{x^{2}-4}{x\left(x-1\right)}=0
\Leftrightarrow x^{2}-4=0
\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x+2\right)=0
\Leftrightarrow x-2=0 ou x+2=0
\Leftrightarrow x=2 ou x=-2
Les réels 2 et -2 ne sont pas des valeurs interdites de l'équation.
S=\left\{ -2;2 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{4}{x\left(x+2\right)}
Domaine de définition de l'équation
On recherche les valeurs de x satisfaisant l'équation \dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{4}{x\left(x+2\right)}.
On note au préalable les conditions d'existence suivantes :
- x+2\neq0 \Leftrightarrow x\neq-2
- x\neq0
Les réels 0 et -2 sont donc des valeurs interdites pour l'équation.
Transformation de l'équation
\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{4}{x\left(x+2\right)}
\Leftrightarrow\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{4}{x\left(x+2\right)}=0
\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}-\dfrac{2x}{x\left(x+2\right)}-\dfrac{4}{x\left(x+2\right)}=0
\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x+2\right)-2x-4}{x\left(x+2\right)}=0
\Leftrightarrow\dfrac{3x+6-2x-4}{x\left(x+2\right)}=0
\Leftrightarrow\dfrac{x+2}{x\left(x+2\right)}=0
Résolution de l'équation
Or, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
\Leftrightarrow\dfrac{x+2}{x\left(x+2\right)}=0
\Leftrightarrow x+2=0
\Leftrightarrow x=-2
Le réel -2 est une valeur interdite de l'équation.
L'équation n'admet pas de solution.
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{x-2}{x}
Domaine de définition de l'équation
On recherche les valeurs de x satisfaisant l'équation \dfrac{x}{x-1}=\dfrac{x-2}{x}.
On note au préalable les conditions d'existence suivantes :
- x-1\neq0 \Leftrightarrow x\neq1
- x\neq0
Les réels 0 et 1 sont donc des valeurs interdites pour l'équation.
Transformation de l'équation
\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{x-2}{x}
\Leftrightarrow \dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x-2}{x}=0
\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}}{x\left(x-1\right)}-\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-1\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-1\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-\left(x^{2}-2x-x+2\right)}{x\left(x-1\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-x^{2}+2x+x-2}{x\left(x-1\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{3x-2}{x\left(x-1\right)}=0
Résolution de l'équation
Or, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
\Leftrightarrow\dfrac{3x-2}{x\left(x-1\right)}=0
\Leftrightarrow 3x-2=0
\Leftrightarrow 3x=2
\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}
Le réel \dfrac{2}{3} n'est pas une valeur interdite.
S=\left\{ \dfrac{2}{3} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\dfrac{2x-8}{x-2}=4
Domaine de définition de l'équation
On recherche les valeurs de x satisfaisant l'équation \dfrac{2x-8}{x-2}=4.
On note au préalable les conditions d'existence suivantes :
- x-2\neq0 \Leftrightarrow x\neq2
Le réel 2 est donc une valeur interdite pour l'équation.
Transformation de l'équation
\dfrac{2x-8}{x-2}=4
\Leftrightarrow \dfrac{2x-8}{x-2}-4=0
\Leftrightarrow \dfrac{2x-8}{x-2}-\dfrac{4\left(x-2\right)}{x-2}=0
\Leftrightarrow \dfrac{2x-8-4\left(x-2\right)}{x-2}=0
\Leftrightarrow \dfrac{2x-8-4x+8}{x-2}=0
\Leftrightarrow \dfrac{-2x}{x-2}=0
Résolution de l'équation
\Leftrightarrow\dfrac{-2x}{x-2}=0
Or, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
\Leftrightarrow-2x=0
\Leftrightarrow x=0
Le réel 0 n'est pas une valeur interdite.
S=\left\{ 0 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\dfrac{x^{2}}{x+1}=3+x
Domaine de définition de l'équation
On recherche les valeurs de x satisfaisant l'équation \dfrac{x^{2}}{x+1}=3+x.
On note au préalable les conditions d'existence suivantes :
- x+1\neq0 \Leftrightarrow x\neq-1
Le réel -1 est donc une valeur interdite pour l'équation.
Transformation de l'équation
\dfrac{x^{2}}{x+1}=3+x
\Leftrightarrow\dfrac{x^{2}}{x+1}-3-x=0
\Leftrightarrow\dfrac{x^{2}}{x+1}- \dfrac{3\left(x+1\right)}{x+1}-\dfrac{x\left(x+1\right)}{x+1}=0
\Leftrightarrow\dfrac{x^{2}-3\left(x+1\right)-x\left(x+1\right)}{x+1}=0
\Leftrightarrow\dfrac{x^{2}-3x-3-x^{2}-x}{x+1}=0
\Leftrightarrow\dfrac{-4x-3}{x+1}=0
Résolution de l'équation
\dfrac{-4x-3}{x+1}=0
Or, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
\Leftrightarrow-4x-3=0
\Leftrightarrow -4x=3
\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{4}
Le réel -\dfrac{3}{4} n'est pas une valeur interdite.
S=\left\{ -\dfrac{3}{4} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\dfrac{4}{x+3}=\dfrac{2}{x+1}
Domaine de définition de l'équation
On recherche les valeurs de x satisfaisant l'équation \dfrac{4}{x+3}=\dfrac{2}{x+1}.
On note au préalable les conditions d'existence suivantes :
- x+1\neq0 \Leftrightarrow x\neq-1
- x+3\neq0 \Leftrightarrow x\neq-3
Le réels -1 et -3 sont donc des valeurs interdites pour l'équation.
Transformation de l'équation
\dfrac{4}{x+3}=\dfrac{2}{x+1}
\Leftrightarrow \dfrac{4}{x+3}-\dfrac{2}{x+1}=0
\Leftrightarrow \dfrac{4\left(x+1\right)}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{2\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{4\left(x+1\right)}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{2\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{4\left(x+1\right)-2\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{4x+4-2x-6}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{2x-2}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}=0
Résolution de l'équation
\dfrac{2x-2}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}=0
Or, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
\Leftrightarrow 2x-2=0
\Leftrightarrow 2x=2
\Leftrightarrow x=1
Le réel 1 n'est pas une valeur interdite.
S=\left\{ 1 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\dfrac{2x-3}{2x-1}=\dfrac{2x+4}{2+2x}
Domaine de définition de l'équation
On recherche les valeurs de x satisfaisant l'équation \dfrac{2x-3}{2x-1}=\dfrac{2x+4}{2+2x}.
On note au préalable les conditions d'existence suivantes :
- 2x-1\neq0 \Leftrightarrow 2x\neq1 \Leftrightarrow x\neq\dfrac{1}{2}
- 2+2x\neq0 \Leftrightarrow 2x\neq-2 \Leftrightarrow x\neq-1
Le réels \dfrac{1}{2} et -1 sont donc des valeurs interdites pour l'équation.
Transformation de l'équation
\dfrac{2x-3}{2x-1}=\dfrac{2x+4}{2+2x}
\Leftrightarrow \left(2x-3\right)\left(2+2x\right)=\left(2x+4\right)\left(2x-1\right)
\Leftrightarrow \left(2x-3\right)\left(2+2x\right)-\left(2x+4\right)\left(2x-1\right)=0
Résolution de l'équation
\left(2x-3\right)\left(2+2x\right)-\left(2x+4\right)\left(2x-1\right)=0
\Leftrightarrow 4x+4x^2-6-6x-\left(4x^2-2x+8x-4\right)=0
\Leftrightarrow 4x+4x^2-6-6x-4x^2+2x-8x+4=0
\Leftrightarrow-8x-2=0
\Leftrightarrow-8x=2
\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{4}
Le réel -\dfrac{1}{4} n'est pas une valeur interdite.
S=\left\{ -\dfrac{1}{4} \right\}