Résoudre une inéquation du type \dfrac{1}{x} \lt a revient à résoudre une inéquation quotient après avoir passé tous les termes du même côté et avoir tout mis sur le même dénominateur.
Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation suivante :
\dfrac{1}{x} \lt -4
Passer tous les termes du même côté de l'inégalité
On passe tous les termes du même côté de l'inégalité.
Ainsi l'inéquation \dfrac{1}{x} \lt a devient \dfrac{1}{x} -a \lt 0.
On passe tous les termes du même coté de l'inégalité. Pour tout réel x\neq0 :
\dfrac{1}{x} \lt -4
\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+4 \lt 0
Mettre les fractions sur le même dénominateur
On met toutes les fractions sur le même dénominateur pour se ramener à une inéquation du type \dfrac{A}{B} \gt 0 ou \dfrac{A}{B} \lt 0.
On met tout sur le même dénominateur. Pour tout réel x\neq0 :
\dfrac{1}{x}+4 \lt 0
\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{4x}{x} \lt 0
\Leftrightarrow\dfrac{4x+1}{x} \lt 0
Déterminer le signe du quotient
Pour résoudre l'inéquation de départ, on étudie le signe du quotient auquel on s'est ramené.
Pour ce faire :
- On détermine le signe de chaque facteur séparément.
- On dresse un tableau de signes afin de déterminer le signe du quotient.
Dans la ligne du quotient, on signifie par une double barre la ou les valeur(s) interdite(s).
On étudie d'abord le signe de chaque facteur :
- Pour tout réel x : 4x+1 \gt 0 \Leftrightarrow 4x \gt -1 \Leftrightarrow x \gt -\dfrac{1}{4}
- x \gt 0 sur \mathbb{R}_+^*
On dresse ensuite le tableau de signes et on signifie par une double barre que x=0 est une valeur interdite.
Conclure
On choisit dans le tableau de signes le ou les intervalle(s) pour lequel/lesquels l'inéquation est vérifiée.
On cherche les intervalles pour lesquels le quotient est strictement négatif. L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc :
S = \left]-\dfrac{1}{4} ; 0 \right[