Les règles de calcul des expressions algébriques
Le calcul littéral désigne l'ensemble des opérations permises pour établir une égalité entre deux formules. On présente ici les règles de calcul inhérentes aux fractions, aux puissances entières et relatives, aux racines carrées. On rappelle également les identités remarquables.
Les fractions
Les fractions désignent le quotient d'un nombre réel par un autre nombre réel non nul. La somme et la multiplication et la simplification de fractions sont des opérations très courantes en mathématiques.
Définition d'une fraction
Fraction
Une fraction désigne la division de deux nombres (en général entiers relatifs, mais on peut former des fractions de nombres réels). Si on veut désigner la fraction de a et de b, on écrit \dfrac{a}{b}. On appelle a le numérateur de la fraction, et b le dénominateur.
La propriété de simplification d'une fraction
Une fraction ne change pas de valeur si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Autrement dit, quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls k et b, on a toujours :
\dfrac{k\times a}{k \times b} = \dfrac{a}{b}
On peut simplifier la fraction suivante :
\dfrac{6}{15} = \dfrac{2\times 3}{5\times 3} = \dfrac{2}{5}
Il faut bien multiplier par le même nombre en haut et en bas pour que l'égalité soit vraie.
L'addition et la soustraction de deux fractions
Soient a, b et c des nombres réels, avec c non nul. Alors on a :
\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}
On a également :
\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}
- \dfrac 2 4+\dfrac 3 4=\dfrac{2+3} 4=\dfrac 5 4
- \dfrac 2 4-\dfrac 3 4=\dfrac{2-3} 4=\dfrac{(-1)} 4
Pour pouvoir additionner ou soustraire deux fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur.
Si l'on souhaite effectuer l'opération \frac{3}{2} + \frac{5}{3} , on doit d'abord mettre les deux fractions au même dénominateur. Pour cela, on sait que \frac{3}{2} = \frac{9}{6} et \frac{5}{3} = \frac{10}{6} . Ainsi :
\begin{aligned} \frac{3}{2} + \frac{5}{3} = \frac{9}{6} + \frac{10}{6} = \frac{19}{6} \end{aligned}
Dans un calcul comportant des quotients, le trait de fraction tient lieu de parenthèses. Cela signifie que le signe présent devant un quotient se répercute sur l'ensemble des nombres du numérateur.
\dfrac{51}{11}-\dfrac{21 - 142}{11}=\dfrac{51 - \left(21 - 142\right)}{11}=\dfrac{51 - 21 + 142}{11}
La multiplication de deux fractions
Soient a, b, c et d des nombres réels, avec c et d non nuls. On a :
\dfrac a c \times \dfrac b d=\dfrac{a \times b}{c \times d}
Pour multiplier deux fractions, il n'est pas nécessaire de les mettre au même dénominateur.
\dfrac{5}{2} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{5\times3}{2 \times 7} = \dfrac{15}{14}
Soient a, b et d des nombres réels avec d non nul. On a :
a\times \dfrac b d=\dfrac{a\times b} d=\dfrac a d\times b
5 \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{5\times 3}{7} = \dfrac{5}{7} \times 3
La division de deux fractions
Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.
Inverse d'un nombre
L'inverse d'une fraction \dfrac{a}{b} est la fraction \dfrac{b}{a}. Plus généralement, l'inverse d'un nombre réel x est :
\dfrac{1}{x}, pour x \not = 0
Soient a, b, c et d des nombres réels avec b, c et d non nuls. On a :
\dfrac{\dfrac{a}{d}}{\dfrac{b}{c}} = \dfrac{a}{d} \times \dfrac{c}{b}
\dfrac{\dfrac{5}{2}}{\dfrac{3}{7}} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{7}{3} = \dfrac{5 \times 7}{2 \times 3} = \dfrac{35}{6}
Soient a, b, et c des nombres réels, avec b et c non nuls. On a :
\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{1}{c} = \dfrac{a}{bc}
\dfrac{\dfrac{5}{2}}{3} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{2\times 3} = \dfrac{5}{6}
Les fractions et le signe moins
Soient a et b des nombres réels avec b non nul. Alors, on a :
-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}
Autrement dit, lorsqu'il y a un signe « – » dans une fraction, il peut être placé indifféremment devant la fraction, au numérateur ou au dénominateur.
- \dfrac{1}{4} = \dfrac{-1}{4} =\dfrac{1}{-4}
La puissance d'un nombre
Les puissances sont omniprésentes dans les mathématiques et il est très utile de savoir les manipuler.
Définition de la puissance
Puissance
Soit n un entier positif non nul supérieur ou égal à 1. On appelle « a puissance n » ou bien « a exposant n » le nombre noté a^n tel que :
a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{\text{n fois}}
L'entier n est appelé l'exposant.
2^5 =\underbrace{2\times2\times2\times2\times2}_{\text{5 fois}} = 32
On observe que :
a^1 = a
234^1 = 234
Les propriétés des puissances
On convient que la puissance 0 d'un nombre non nul vaut toujours 1 :
a^0 = 1
135^0 = 1
Il n'y a pas de sens à donner une valeur pour 0^0, on évite ainsi d'écrire 0 à la puissance 0.
Soient a et b deux nombre réels non nuls, et n et p deux entiers relatifs. On a les propriétés de calcul suivantes :
| a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} | (a^n)^p = a^{n\times p} |
| 4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4} | (3^6)^2 = 3^{12} = \text{531 441} |
| 3^6\times 3^2 = 3^{6+2} = 3^8 3^6 \times 3^{-2} = 3^{6-2} = 3^4 = 81 \frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2= 4 \frac{2^5}{2^{-3}} = 2^{5-(-3)} = 2^{5+3} = 2^8 = 256 | (2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 = \text{1 296} |
Il ne faut jamais distribuer de la même manière les puissances avec l'addition et la soustraction. Autrement dit :
(a+b)^p \not = a^p + b^p \quad \text{et} \quad (a-b)^p \not = a^p - b^p
dès que a et b sont non nuls.
Les identités remarquables
Il existe trois identités remarquables qui sont utilisées pour développer ou pour factoriser une expression.
Les identités remarquables (a+b)^2 et (a-b)^2
Les deux identités remarquables suivantes permettent de développer facilement le carré d'une somme ou d'une différence. Elles permettent aussi de factoriser certaines expressions.
Soient a et b deux nombres réels, alors :
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
et
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Puisque :
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
On a bien :
(a+b)^2 \not = a^2 + b^2
On peut utiliser les identités remarquables pour effectuer de tête des calculs comme 14^2. En effet, on peut développer comme suit :
14^2 = (10 + 4)^2 = 10^2 + 2\times 4 \times 10 + 4^2 = 100 + 80 + 16 = 196
Ou 19^2, en faisant :
19^2 = (20-1)^2 = 20^2 - 2 \times 20 \times 1 + 1^2 = 400 - 40 + 1 = 360 + 1 = 361
Dans le cas où a et b sont positifs, on peut démontrer ces identités remarquables en utilisant la géométrie.
On dessine un carré de côté a+b. Ce carré est constitué de deux carrés d'aires respectives a^2 et b^2, et de deux rectangles d'aire \mathit{ab}. L'aire totale est donc la somme a^2+b^2+\mathit{ab}+\mathit{ab}=a^2+b^2+2\mathit{ab}. De plus, l'aire totale peut aussi être obtenue directement en calculant (a+b)(a+b)=(a+b)^2. En conclusion, (a+b)^2=a^2+b^2+2\mathit{ab}. On peut démontrer les autres identités remarquables de la même manière.
À partir de l'identité suivante :
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
On peut retrouver l'identité :
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
En effet, si on remplace, dans la première identité, le nombre b par -b, on obtient :
(a+(-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2
Puisque (-b)^2 = (-b)\times(-b) = (-1)^2 \times b^2 = b^2, on retrouve bien :
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
On factorise une expression à l'aide de l'identité remarquable (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
On cherche à factoriser l'expression :
f(x) = 9 + 6x + x^2
On reconnaît la forme a^2+2\mathit{ab}+b^2 avec a=3 et b=x, car 9+6x+x^2=3^2+2\times 3\times x+x^2. On a donc :
f(x)= 9+6x + x^2 = \left(3+x\right)^2
Grâce à cette factorisation, on vient de montrer que le nombre f(x) était toujours positif, quel que soit x \in \mathbb{R}.
L'identité remarquable a^2 - b^2
Pour tout nombre réel a et b, on a :
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
Cette identité remarquable est utilisée pour résoudre des équations du second degré.
L'expression x^2 -9 peut se factoriser, puisque :
x^2 - 9 = x^2 - 3^2
En posant a = x et b = 3, on a bien x^2 - 9 = a^2 -b^2 = (a+b)(a-b), donc :
x^2 - 9 = (x - 3)(x+3)
La racine carrée
On ne peut souvent désigner une racine carrée d'un nombre réel positif qu'à l'aide du symbole \sqrt{\cdot}. Pour manipuler des formules contenant une racine carrée, il faut connaître les règles de calculs associées à la multiplication ou la somme de deux racines carrées.
Définition d'une racine carrée
Racine carrée
Soit a un nombre réel positif. On désigne par \sqrt{a} la racine carrée de a qui est égale au nombre positif dont le carré est a. Autrement dit, \sqrt{a} respecte les conditions suivantes :
\left\{\begin{array}{cc}(\sqrt{a})^2 &= a \\\sqrt{a} &\geq 0\end{array}\right.
Il existe deux nombres réels différents dont le carré est égal à 4. En effet on a :
(-2)^2 = 2^2 = 4
De ces deux nombres, la racine carrée est toujours celui qui est positif, donc ici \sqrt 4=2.
\sqrt{0} = 0
Par définition, la racine carrée d'un nombre réel est toujours positive.
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas, car un carré d'un nombre réel ne peut jamais être négatif.
On ne peut pas écrire \sqrt{(-5)}, car aucun nombre réel n'a pour carré -5.
Les propriétés de calcul avec une racine carrée
Soient a et b deux nombres réels positifs, on a :
\sqrt{\mathit{ab}}=\sqrt a\times \sqrt b
\sqrt{12}=\sqrt{3\times 4}=\sqrt 3\times \sqrt 4
Par définition de la racine carrée, on a :
(\sqrt{\mathit{ab}})^2=\mathit{ab}
(\sqrt a\times \sqrt b)^2=(\sqrt a)^2\times (\sqrt b)^2=a\times b
On a donc :
(\sqrt{\mathit{ab}})^2=(\sqrt a\times \sqrt b)^2
Comme une racine carrée est toujours positive, \sqrt{\mathit{ab}} et \sqrt a\times \sqrt b sont tous les deux positifs, on a finalement :
\sqrt{\mathit{ab}}=\sqrt a\times \sqrt b
Soient a et b deux nombres réels positifs, avec b\neq 0 :
\sqrt{\dfrac a b}=\dfrac {\sqrt a}{\sqrt b}
\sqrt{\dfrac 9 4}=\dfrac{\sqrt 9}{\sqrt 4} = \dfrac{3}{2}
La racine carrée d'une somme n'est en général pas égale à la somme des racines carrées. Autrement dit :
\sqrt{a+b}\neq \sqrt a+\sqrt b
De même :
\sqrt{a-b}\neq \sqrt a-\sqrt b
Soient a et b des nombres réels positifs. Alors on a :
\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}
L'égalité \sqrt{a +b}= \sqrt{a} + \sqrt{b} est vraie si et seulement si a ou b est nul.
La différence entre \sqrt{a^2} et (\sqrt{a})^2
(\sqrt{a})^2 et \sqrt{a^2} sont différents. Autrement dit :
a \overset{\sqrt{\cdot}}{\longrightarrow} \sqrt{a} \overset{\cdot^2}{\longrightarrow}(\sqrt{a})^2
et
a \overset{\cdot^2}{\longrightarrow} a^2 \overset{\sqrt{\cdot}}{\longrightarrow} \sqrt{a^2}
aboutissent en général à deux résultats différents. Plus précisément :
- le premier chemin n'est valide que si a\geqslant0 ;
- le deuxième chemin fonctionne pour tous les nombres réels.
En effet, on a :
- Pour (\sqrt a)^2, on doit calculer d'abord la racine carrée de {a}, ce qui n'est possible que si a est positif. Ce calcul n'est donc possible que si le nombre a est positif.
- Pour \sqrt{a^2}, on élève d'abord le nombre a au carré, ce qui donne un résultat forcément positif, quel que soit le signe de a. Puis, on applique la racine à ce résultat. On peut donc faire ce calcul quel que soit le signe du nombre a.
- \sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5
- Mais (\sqrt{-5})^2 n'a pas de sous-ensemble car -5 est négatif, et on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif.
- Si a>0, \sqrt{a^2}=a
- Si a<0, \sqrt{a^2} = -a
\sqrt{5^2}=\sqrt{25}=5
\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5 donc \sqrt{(-5)^2}=-(-5)
En utilisant la propriété de la racine carrée, \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}, on peut écrire :
- si a > 0, \sqrt{a^2} = \sqrt{a \times a } = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a
- si a < 0, \sqrt{a^2} = \sqrt{-a \times -a }= \sqrt{-a} \times \sqrt{-a} = (\sqrt{-a})^2 = -a
On peut résumer le résultat de cette proposition à l'aide de la valeur absolue, puisqu'en effet, pour tout nombre réel a, on a :
\sqrt{a^2} = | a |
La résolution des équations
Les équations permettent de modéliser les contraintes d'une quantité. En résolvant une équation, on peut ainsi prédire l'évolution d'une quantité. Il existe plusieurs types d'équations. Certaines équations peuvent se résoudre assez facilement en utilisant le calcul littéral.
Généralités sur les équations
Résoudre une équation revient à trouver l'ensemble des solutions. On restreint souvent l'ensemble possible des solutions lorsque l'on cherche des solutions qui admettent des propriétés supplémentaires. Pour cela, on précise l'ensemble de résolution.
Définition d'une équation
Équation
Une équation est une égalité comportant une ou plusieurs inconnues.
3x + 1 = 0 est une équation avec une inconnue x.
3x + 1 = 2y^2 - 5x est une équation avec deux inconnues, x et y.
L'ensemble de résolution
Les inconnues appartiennent à un ensemble qu'il faut toujours préciser, c'est l'ensemble de résolution d'une équation.
Ensemble de résolution
L'ensemble de résolution de l'équation est l'ensemble dans lequel on cherche des solutions.
On considère un triangle ABC rectangle en A, tel que AC = 3 et AB = 6. Le point M est un point du segment [AB]. On appelle x la longueur AM et on cherche pour quelle(s) valeur(s) de x on obtient CM = 5. Dans ce problème, comme M doit se situer entre A et B, la longueur AM doit être comprise entre 0 et 6.
On a donc 0 \leq x \leq 6, c'est-à-dire x \in [0, 6].
Pour résoudre ce problème, on va chercher les solutions parmi les réels de l'intervalle [0, 6], et on écartera les autres éventuelles solutions possibles.
On dit alors que [0;6] est l'ensemble de résolution de l'équation.
Si on ne précise pas un ensemble de résolution, on considère que l'ensemble de résolution est l'ensemble des réels \mathbb{R}.
L'ensemble des solutions
On peut former l'ensemble des solutions, qui contient toutes les solutions de l'équation qui font partie de l'ensemble de résolution.
Solution d'une équation
La solution ou les solutions d'une équation sont les valeurs de l'inconnue (ou des inconnues) qui appartiennent à l'ensemble de résolution et pour lesquelles l'égalité est vraie.
L'ensemble des solutions
L'ensemble des solutions d'une équation est l'ensemble de toutes les solutions possibles.
On veut résoudre l'équation 9 + x^2 = 25 sur [0, 6], c'est-à-dire que l'ensemble de résolution est [0;6]. On peut remarquer que :
- 9 + 4^2 = 25 et 4 \in [0, 6] donc 4 est une solution de l'équation.
- 9+ 2^2 = 13 \not = 25 donc 2 n'est pas une solution de l'équation.
- 9 + (-4)^2 = 25 mais -4 \not \in [0, 6], donc -4 n'est pas une solution de l'équation.
Il est possible qu'aucune solution ne convienne, c'est-à-dire qu'aucune solution n'appartienne à l'ensemble de résolution.
Les principes de résolution
Une égalité reste vraie si l'on ajoute, soustrait, multiplie ou divise chaque membre par le même nombre, à condition de ne pas diviser par 0.
Multiplier par 0 garde une égalité vraie mais n'est pas très intéressant, car quelle que soit l'équation de départ, on arrive à 0 = 0.
Équations équivalentes
Les équations obtenues en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant chaque membre par le même nombre (à condition de ne pas multiplier ou diviser par 0) ont le même ensemble de solutions.
Équations équivalentes
Deux équations qui ont le même ensemble de solutions sont dites équivalentes.
L'équation 3x + 4 = 2 est équivalente à l'équation 3x + 4 - 2 = 2 - 2 qui se réécrit 3x + 2 = 0.
On utilise le principe des équations équivalentes pour transformer une équation jusqu'à en trouver la solution, le but étant d'isoler l'inconnue x dans un membre de l'équation. À la fin des transformations, on obtient :
- soit une ou plusieurs solutions ;
- soit une égalité toujours vraie. Dans ce cas, tous les nombres ou l'ensemble de résolution sont solutions ;
- soit une égalité toujours fausse. Dans ce cas, il n'y a pas de solution.
On peut avoir une ou plusieurs solutions, par exemple, si l'on cherche les solutions réelles de
l'équation :
(x-2)\times(x-4) = 0
On peut vérifier que 2 et 4 sont solutions. L'ensemble des solutions est donc :
S =\{ 2, 4 \}
Si l'on cherche les solutions réelles de l'équation :
3x + 4 = 3x + 4
Alors, cette équation est équivalente aux équations suivantes :
\begin{aligned} 3x + 4 &= 3x +4 \\ 3x + 4 - 4 &= 3x + 4 - 4\\ 3x &= 3x \\ 3x - 3x &= 3x - 3x \\ 0 &= 0\end{aligned}
Dans ce cas, tous les nombres réels sont solutions. L'ensemble S des solutions est donc :
S = \mathbb{R}
Si l'on cherche les solutions réelles de l'équation :
3x + 4 = 3x - 2
Alors, cette équation est équivalente aux équations suivantes :
\begin{aligned} 3x + 4 &= 3x - 2\\ 3x + 4 + 2 &= 3x - 2 + 2 \\ 3x + 6 &= 3x \\ 3x + 6 - 3x &= 3x - 3x \\ 6 &= 0\end{aligned}
La dernière égalité est toujours fausse, donc l'équation n'a pas de solutions réelles. L'ensemble S des solutions est donc :
S = \varnothing
La résolution d'une équation du premier degré
Équation du premier degré à une inconnue
Une équation du premier degré à une inconnue est une équation à une seule inconnue et qui ne fait apparaître que des x, des ax et des constantes.
Les équations suivantes sont des équations du premier degré :
2x - 8 = 2\times(4x -3)
-\dfrac{1}{3} x + 4 = 0
Toute équation du premier degré peut se ramener à une équation de la forme :
ax + b = 0
avec a et b des constantes réelles.
Soit l'équation du premier degré suivante :
3x + 4 - x + 10 = 5 \times (x -2)
On veut trouver une équation qui lui est équivalente, mais qui soit de la forme ax + b = 0 avec a et b des constantes réelles. Pour cela, on peut procéder comme suit :
3x + 4 - x + 10 = 5\times (x -2)
3x + 4 - x + 10 = 5x - 10
3x + 4 - x + 10 + 10 = 5x - 10 + 10
3x + 4 - x + 20 = 5x
3x - x + 4 + 20 = 5x
2x + 24 = 5x
2x + 24 - 5x = 5x - 5x
2x -5x + 24 = 0
-3x + 24 = 0
Ainsi, l'équation 3x + 4 - x + 10 = 5 \times (x -2) est équivalente à l'équation -3x + 24 = 0. Les constantes qui conviennent sont donc a = -3 et b=24.
La méthode est de développer au maximum les calculs, puis de ramener tous les termes dans un seul membre de l'équation et de simplifier pour trouver la forme souhaitée.
Soit une équation de la forme ax + b =0. On souhaite la résoudre sur \mathbb{R}. On a alors trois possibilités :
- soit a \not = 0 et la seule solution de l'équation est x = -\dfrac{b}{a} ;
- soit a = 0 et b \not = 0 et l'équation n'a pas de solution ;
- soit a = b = 0 et tous les réels sont solutions.
On souhaite résoudre l'équation -3x + 24 = 0.
On a :
-3x + 24 = 0
-3x + 24 - 24 = - 24
-3x = - 24
Il suffit maintenant de diviser l'équation par -3 pour obtenir :
x = \dfrac{-24}{-3}
x = \dfrac{24}{3}
x = 8
La résolution d'autres types d'équations
On peut résoudre certaines équations qui ne sont pas du premier degré, comme les équations produits ou les équations quotients.
Les équations produits
Un produit de facteur est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. Autrement dit, pour tous A et B réels :
A \times B = 0 \text{ si et seulement si } A= 0 \text{ ou } B = 0
On peut résoudre certaines équations produits qui ne sont pas du premier degré.
On veut résoudre l'équation (4x - 4)\times(x -7) =0. On applique la propriété précédente et on obtient :
(4x - 4)\times(x -7) =0 si et seulement si 4x - 4 =0 ou x -7 = 0
Ainsi, résoudre l'équation du second degré (4x - 4)\times(x -7) =0 revient à résoudre deux équations du premier degré, qui sont :
- 4x - 4
- x - 7
Pour la première équation, on obtient : x = 1.
Pour la seconde équation, on obtient : x = 7.
Ainsi, les solutions de (4x - 4)\times(x -7) =0 sont x=1 et x=7. L'équation admet deux solutions.
On sait donc résoudre des équations de la forme :
(ax+b)\times(cx + d) \times (ex +f) \times \ldots = 0
On peut alors résoudre toutes les équations du premier degré ax+b=0 puis cx+d =0, etc.
Équation sous forme factorisée
Une équation de la forme (ax+b)\times(cx + d) \times (ex +f) \times \ldots = 0 est une équation sous forme factorisée.
On veut résoudre dans \mathbb{R} l'équation x^2 - 2x = x. Ce n'est pas une équation du premier degré, puisqu'il y a un terme x^2, mais on peut quand même factoriser l'équation, en faisant :
x^2 - 2x = x
x^2 - 2x - x = 0
x^2 -3x = 0
On factorise par x dans le membre de gauche :
x(x - 3) = 0
On se retrouve ainsi avec une équation de la forme factorisée. On écrit « un produit est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul », on a donc :
x(x-3) = 0 si et seulement si x = 0 ou x - 3 = 0
Les solutions de l'équation sont donc x = 0 et x=3.
On peut utiliser une identité remarquable pour résoudre une équation sous forme factorisée.
On souhaite résoudre l'équation x^2 - 49 = 0, pour x \in \mathbb{R}.
On remarque que 49 = 7^2, on a donc :
x^2 - 7^2 = (x-7)(x+7)
On utilise l'identité remarquable a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) pour a = x et b=7.
Ainsi, l'équation x^2 - 49 = 0 se réécrit (x-7)(x+7) = 0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Donc x + 7= 0, ou bien x - 7 = 0.
Les solutions de l'équation x^2 - 49 = 0 sont donc x = 7 et x=-7. L'ensemble des solutions est :
S = \{ -7, 7 \}
Les équations quotients
Un quotient est nul si et seulement si :
- son numérateur est nul ;
- son dénominateur est non nul.
On peut ainsi résoudre certaines équations.
\dfrac{3x + 2}{4x - 5} = 0
Dès que l'on parle de quotient, il faut savoir pour quelle(s) valeur(s) de x le quotient a un sens, c'est-à-dire pour quelle(s) valeur(s) de x le dénominateur est non nul.
Pour \dfrac{3x + 2}{4x - 5}, le quotient a un sens dès que 4x - 5 \not = 0.
D'après la méthode de résolution des équations du premier degré, 4x - 5 = 0 si et seulement si x = \dfrac{5}{4}.
On sait alors que \dfrac{3x + 2}{4x - 5} a un sens dès que x \not = \dfrac{5}{4}.
Valeurs interdites
On appelle les valeurs pour lesquelles le quotient est nul les valeurs interdites.
On cherche à résoudre l'équation \dfrac{3x + 2}{4x - 5} = 0.
On a vu que 4x - 5 = 0 si et seulement si x = \dfrac{5}{4}, donc la seule valeur interdite est \dfrac{5}{4}. On cherche donc à résoudre cette équation sur l'ensemble de résolution \mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{5}{4} \right\} (lire « \mathbb{R} privé de \dfrac{5}{4}) »).
Il suffit maintenant de connaître les valeurs de x telles que le numérateur s'annule. On résout ainsi :
3x + 2 = 0
3x + 2 - 2 = -2
3x = - 2
x = \dfrac{-2}{3}
Donc le numérateur est nul si et seulement si x = - \dfrac{2}{3}.
-\dfrac{2}{3} est le seul nombre réel qui annule le numérateur, et -\dfrac{2}{3} \in \mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{5}{4} \right\}\}, donc -\dfrac{2}{3} est bien dans l'ensemble de résolution.
L'ensemble S des solutions de l'équation est donc S=\left\{ -\dfrac{2}{3} \right\} .
Pour désigner l'ensemble des solutions, il faut mettre des accolades \{ et \}.
On écrit ainsi S=\{ -\dfrac{2}{3} \} et non S = -\dfrac{2}{3}.
La résolution des inéquations
Les inéquations servent à modéliser des contraintes. Les manipulations des inéquations ont certaines similarités avec les équations, mais elles ont aussi leurs règles propres qu'il faut maîtriser. Ici, on s'intéresse aux inéquations à une inconnue. Un tableau de signes permet de récapituler les intervalles sur lesquels une expression est positive ou négative et permet ainsi de résoudre des inéquations.
Généralités sur les inéquations
Définitions
Inéquation à une inconnue
Une inéquation à une inconnue est une inégalité comportant une seule inconnue.
3x(x+2) \geq 0 est une inéquation à une seule inconnue.
Solutions d'une inéquation
Les solutions d'une inéquation sont les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'inégalité est vraie.
Ensemble des solutions
L'ensemble des solutions d'une inéquation est l'ensemble de toutes les solutions possibles.
L'addition et la soustraction d'un nombre d'une inéquation
On ne change pas les solutions d'une inéquation en ajoutant ou en soustrayant le même nombre à chaque membre.
Pour tout x \in \mathbb{R} :
3x+4 \leq 2
3x + 4 - 2 \leq 2- 2
3x + 2 \leq 0
sont des inégalités équivalentes.
La multiplication et la division par un nombre dans une inéquation
Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre :
- si ce nombre est positif, on ne change pas le sens de l'inégalité ;
- s'il est négatif, on change le sens de l'inégalité.
Soit x \in \mathbb{R} :
3x + 4 \leq 2
(3x+4)\times 2 \leq 2 \times 2
Par contre :
3x+4 \leq 2
(3x+4)\times (-3) \geq 2 \times (-3)
Le lien entre inéquations et fonctions affines
Multiplier ou diviser par un nombre négatif non nul change le sens des inégalités, alors qu'ajouter ou soustraire un nombre dans chaque membre d'une inéquation ne change pas le sens des inégalités. Cela s'explique par des variations des fonctions affines en fonction de leur coefficient directeur.
Fonction croissante sur un intervalle
Soient a et b deux nombres réels, avec a \leq b. Soit f une fonction réelle définie sur l'intervalle [a;b].
On dit que la fonction f est croissante sur l'intervalle [a;b] si pour tout x, y \in [a;b]: x \leq y \quad \text{ et } \quad f(x) \leq f(y) \qquad \text{le sens de l'inégalité est conservé}.
Fonction décroissante sur un intervalle
Soient a et b deux nombres réels, avec a \leq b. Soit f une fonction réelle définie sur l'intervalle [a;b].
On dit que la fonction f est décroissante sur l'intervalle [a;b] si pour tout x, y \in [a;b]: x \leq y \quad \text{ et } \quad f(x) \geq f(y) \qquad \text{le sens de l'inégalité est changé}.
Pour une fonction affine x \mapsto ax + b où a \not = 0, la fonction est croissante sur \mathbb{R} si et seulement si a > 0 et décroissante sur \mathbb{R} si a <0.
La fonction f : x \mapsto 3x -38 est croissante, puisque le coefficient directeur de cette fonction affine (qui vaut 3 ) est strictement positif.
La fonction f : x \mapsto -\frac{1}{2} x + 2 est décroissante, puisque le coefficient directeur de cette fonction affine (qui vaut -\frac{1}{2} ) est strictement négatif.
Multiplier par un nombre négatif une inégalité (ici -3) change le sens de l'inégalité, car les fonctions affines qui admettent un coefficient directeur négatif sont décroissantes sur \mathbb{R}.
On suppose a \leq b, et f(x)=-3x + 2. On a f décroissante car son coefficient directeur, égal à -3, est strictement négatif. Ainsi, on a :
a \leq b \quad \text{ et }\quad f(a) \geq f(b) \qquad \text{le sens de l'inégalité est changé.}
Donc, pour a \leq b, puisque f : x \mapsto -3x + 2, on a :
a \leq b
-3a + 2 \geq -3b + 2 \quad \text{le sens de l'inégalité est changé}.
Réciproquement, multiplier par un nombre positif une inégalité conserve le sens de l'inégalité, car les fonctions affines qui admettent un coefficient directeur positif sont croissantes sur \mathbb{R}.
Si a \leq b, et f(x)=34x - 89, alors f est croissante, car son coefficient directeur, 34, est strictement positif, et donc :
a \leq b
34a - 89 \leq 34 b - 89 \qquad \text{le sens de l'inégalité est conservé}.
L'addition de deux inéquations entre elles
Soient a, b, c et d des réels.
Si on a :
a<b \quad \text{ et } \quad c< d
Alors on a :
a+c < b+d
Cette propriété ne marche pas avec la soustraction.
On ne peut pas faire le raisonnement inverse, c'est-à-dire que a+c < b+d ne signifie pas a<b \quad \text{ et } \quad c< d.
Il faut que les inégalités soient dans le même sens pour pouvoir les additionner.
La résolution des inéquations du premier degré
La méthode de résolution des inéquations du premier degré est similaire à celle pour résoudre les équations du premier degré, sauf lorsqu'il s'agit de diviser ou de multiplier par un nombre strictement négatif, ce qui va changer le sens de l'inégalité.
On souhaite résoudre l'inéquation :
-7x - 8 \geq 3x + 2
On procède de la manière suivante :
\begin{aligned} -7x - 8 & \geq 3x + 2\\ -7x - 3x -8 - 2 & \geq 0\\ -10x -10 & \geq 0\\ -10x & \geq 10\\ x & \leq \frac{10}{-10} \quad \\ x & \leq -1\\\end{aligned}
La résolution d'autres types d'inéquations
Pour résoudre une inéquation qui n'est pas du premier degré, on peut :
- rassembler tous les termes dans un membre, pour se ramener à une inéquation où l'un des membres est égal à 0 ;
- factoriser et mettre au même dénominateur ;
- déterminer le signe de chaque facteur et utiliser un tableau de signes pour faire le bilan.
Le signe d'un produit dans une inéquation
Soit A et B deux nombres réels.
- Si A et B sont de même signe, alors le produit A\times B est positif.
- Si A et B sont de signes différents, alors le produit A\times B est négatif.
Et les réciproques sont aussi vraies.
On peut résumer cette propriété à l'aide du tableau suivant :
| A | + | + | - | - |
| B | + | - | + | - |
| A \times B | + | - | - | + |
Si le produit comporte plus de deux facteurs, on compte le nombre de facteurs négatifs :
- s'il y a un nombre impair de facteurs négatifs, le produit est négatif ;
- s'il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif.
| A | + | + | - | - |
| B | + | - | + | - |
| C | - | - | - | - |
| A \times B \times C | - | + | + | - |
Les inéquations produits
Comme dans le cas d'une équation, s'il y a pas de quotient, on essaie de se ramener à un produit de facteurs en factorisant.
On veut résoudre (3x-4)^2 \leq 3x - 4 pour x \in \mathbb{R}.
On rassemble dans un même membre et on factorise. On peut ainsi écrire :
(3x-4)^2 \leq 3x - 4
(3x - 4)^2 - (3x - 4) \leq 0
(3x - 4)\left( 3x - 4 - 1 \right) \leq 0 en factorisant par (3x -4)
(3x - 4)(3x - 5)\leq 0
On cherche le signe de chaque facteur, pour dresser un tableau de signes. On obtient finalement le tableau de signes suivant :
Ainsi, puisque (3x-4)^2 \leq 3x - 4 si et seulement si (3x - 4)(3x - 5) \leq 0, grâce au tableau de signes, on peut conclure :
(3x-4)^2 \leq 3x - 4 si et seulement si x \in \left[\dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3}\right]
Les inéquations quotients
Dans le cas où l'inéquation contient un quotient avec l'inconnue au dénominateur, il faut d'abord identifier les valeurs interdites : ce sont celles qui annulent le dénominateur. Ensuite, on utilise la même méthode qu'une équation, mais lorsqu'on fait un bilan dans le tableau de signes, on note d'une double barre les valeurs interdites.
On cherche à résoudre l'inéquation 4x - 5 \leq \dfrac{10}{3x-2}.
On a un quotient avec l'inconnue au dénominateur. Or, le dénominateur ne doit jamais être nul, il faut donc vérifier qu'on a toujours 3x - 2 \not = 0. Or, en résolvant l'équation 3x - 2 = 0, on sait que :
3x - 2 = 0 \text{ si et seulement si } x = \dfrac{2}{3}
Donc, on a qu'une seule valeur interdite, qui est \dfrac{2}{3}.
L'ensemble de résolution de l'inéquation est \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{2}{3} \right\}. Il faudra bien vérifier qu'on exclut les valeurs interdites de l'ensemble des solutions.
On rassemble les termes de l'inéquation. Pour tout x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{2}{3} \right\} :
4x - 5 \leq \dfrac{10}{3x-2}
(4x - 5) - \dfrac{10}{3x-2} \leq 0
On réduit au même dénominateur :
\dfrac{ (4x -5) \times (3x - 2) - 10 }{3x - 2} \leq 0
\dfrac{12x^2 - 15x - 8x + 10 - 10}{3x -2} \leq 0
\dfrac{12x^2 - 23x}{3x - 2} \leq 0
\dfrac{x(12x-23)}{3x -2} \leq 0
On détermine le signe de chaque facteur, au numérateur et au dénominateur :
- Le signe de x est évident.
- 12x - 23 = 0 admet comme unique solution x = \dfrac{23}{12}. Le coefficient directeur, 12, est strictement positif, donc 12x - 23 est un nombre négatif pour x \in \left]-\infty; \dfrac{23}{12}\right], puis positif pour x \in \left[\dfrac{23}{12}; +\infty\right[.
- 3x - 2 = 0 admet comme unique solution x = \dfrac{2}{3}. Le coefficient directeur, 3, est strictement positif, donc 3x - 2 est un nombre négatif pour x \in \left]-\infty; \dfrac{2}{3}\right] et positif pour x \in \left[ \dfrac{2}{3}; \infty\right[.
On obtient le tableau de signes suivant, on indique par la double barre que la valeur pour laquelle le dénominateur s'annule est une valeur interdite.
On cherche l'intervalle sur lequel l'expression est négative ou nulle à l'aide de la dernière ligne du tableau de signes.
L'ensemble des solutions de l'inéquation est S = ]-\infty; 0] \cup \left] \dfrac{2}{3} ; \dfrac{23}{12} \right].