Simplifier un quotient à l'aide d'une identité remarquable Exercice

Pour factoriser une expression, on peut reconnaître une identité remarquable.

On peut réécrire le numérateur sous la forme :
x^2 + 2x + 1 = (x)^2 + 2 \times x \times 1 + (1)^2

On reconnaît une identité remarquable (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 , avec :
a = x
b = 1

Donc :
x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 pour tout réel x.

Comme x\in\mathbb{R}\backslash\{-2; -1\}, on peut donc simplifier un facteur x+1 au numérateur et au dénominateur :
\dfrac{x^2 + 2x + 1}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{(x+1)^2}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{x+1}{x+2}

Pour factoriser une expression, on peut reconnaître une identité remarquable.

On peut réécrire le numérateur sous la forme :
4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + (3)^2

On reconnaît une identité remarquable (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 , avec :
a = 2x
b = 3

Donc :
4x^2 - 12x + 9 = (2x-3)^2 pour tout réel x.

Comme x\in\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{-2}{5}; \dfrac{3}{2}\right\}, on peut simplifier un facteur 2x-3 au numérateur et au dénominateur :
\dfrac{4x^2 - 12x + 9}{(2x-3)(5x+2)} = \dfrac{(2x-3)^2}{(2x-3)(5x+2)} = \dfrac{2x-3}{5x+2}

Pour factoriser une expression, on peut reconnaître une identité remarquable.

On peut réécrire le numérateur sous la forme :
9x^2 - 30x +25 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 5 + (5)^2

On reconnaît une identité remarquable (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 , avec :
a = 3x
b = 5

Donc :
9x^2 - 30x +25 = (3x-5)^2 pour tout  réel x.

Comme x\in\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{3}{2}; \dfrac{5}{3}\right\}, on peut simplifier un facteur  3x-5 au numérateur et au dénominateur :
\dfrac{9x^2 - 30x +25}{(2x-3)(3x-5)} = \dfrac{(3x-5)^2}{(2x-3)(3x-5)} = \dfrac{3x-5}{2x-3}

Pour factoriser une expression, on peut reconnaître une identité remarquable.

On peut réécrire le dénominateur sous la forme :
16x^2 + 16x + 4 = (4x)^2 + 2 \times 4x \times 2 + (2)^2

On reconnaît une identité remarquable (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 , avec :
a = 4x
b = 2

Donc :
16x^2 + 16x + 4 = (4x+2)^2 pour tout réel x.

Comme x\in\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{-1}{2}\right\}, on peut simplifier un facteur 4x+2 au numérateur et au dénominateur :
\dfrac{(x-1)(4x+2)}{16x^2 + 16x + 4} = \dfrac{(x-1)(4x+2)}{(4x+2)^2} = \dfrac{x-1}{4x+2}

Pour factoriser une expression, on peut reconnaître une identité remarquable.

On peut réécrire le dénominateur sous la forme :
9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 1 + (1)^2

On reconnaît une identité remarquable (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 , avec :
a = 3x
b = 1

Donc :
9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2 pour tout réel x.

Comme x\in\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{3}\right\}, on peut simplifier un facteur 3x-1 au numérateur et dénominateur :
\dfrac{(3x-1)(6x+5)}{9x^2 - 6x + 1} = \dfrac{(3x-1)(6x+5)}{(3x-1)^2} = \dfrac{6x+5}{3x-1}