On souhaite démontrer \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} lorsque ces expressions sont définies.
À quel intervalle doivent appartenir a et b pour que les expressions \sqrt{ab} et \sqrt{a}\sqrt{b} soient définies ?
La fonction f(x) = \sqrt{x} est définie sur \mathbb{R}_+ , donc l'expression \sqrt{ab} est définie si ab \geq 0 et les expressions \sqrt{a} et \sqrt{b} sont définies si a\geq 0 et b\geq 0.
Ainsi, a et b doivent appartenir à l'intervalle [0;+\infty[.
Que vaut \left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 ?
On sait que pour n un entier naturel et a et b deux nombres réels, on a :
(ab)^n= a^n b^n
Ainsi, dans ce cas :
\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \times \left(\sqrt{b}\right)^2
Que vaut \left(\sqrt{a \times b}\right)^2 ?
Par définition, \sqrt{x} est le nombre positif ou nul tel que \sqrt{x} \times \sqrt{x} = x .
Ainsi, \left( \sqrt{x} \right)^2 = x pour tout nombre réel x positif ou nul.
On déduit donc que :
\left(\sqrt{a \times b}\right)^2 = a \times b
Que vaut \sqrt{ab} ?
D'une part, \left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \times \left(\sqrt{b}\right)^2 = a \times b .
D'autre part, \left(\sqrt{a \times b}\right)^2 = a \times b .
On en déduit que :
\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a \times b}\right)^2
On sait que pour x et y réels, on a :
x^2=y^2\Leftrightarrow x=y ou x=-y
Ici \sqrt{a}\times \sqrt{b} et \sqrt{ab} ont le même carré.
Mais ce sont deux nombres positifs.
On en déduit donc :
\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}