Une inéquation du type ax+b \lt cx+d admet un intervalle solution sur \mathbb{R}.
Le symbole \lt peut être remplacé par : \gt, \leqslant ou \geqslant.
Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation 2x+3 \lt -x+1.
Passer tous les termes du même côté de l'inégalité
On passe tous les termes du même côté de l'inégalité afin de se ramener à une inéquation du type mx+p \gt 0.
On passe tous les termes du même côté de l'inégalité. Pour tout réel x :
2x+3 \lt -x+1
\Leftrightarrow 2x+3+x-1 \lt 0
\Leftrightarrow 3x+2 \lt 0
Résoudre en isolant l'inconnue
On résout ensuite l'inéquation mx+p \gt 0.
mx+p \gt 0 \Leftrightarrow mx \gt -p
Ensuite, trois cas sont possibles en fonction des valeurs de m :
- si m \gt 0, mx+p \gt 0 \Leftrightarrow x \gt -\dfrac{p}{m}
- si m \lt 0, mx+p \gt 0 \Leftrightarrow x \lt -\dfrac{p}{m}
- si m = 0 l'inéquation devient p \gt 0. Si p est effectivement positif, l'inéquation est vérifiée pour tout x de \mathbb{R}. Si p \lt 0 alors l'inéquation n'admet pas de solution dans \mathbb{R}.
Lorsque l'on divise ou multiplie les deux membres de l'inégalité par une valeur négative, le sens de l'inégalité change.
Pour tout réel x :
2x \gt 3 \Leftrightarrow x \gt \dfrac{3}{2}
Pour tout réel x :
-3x\gt 8\Leftrightarrow x \lt -\dfrac{8}{3}
Pour tout réel x :
3x+2 \lt 0
\Leftrightarrow 3x \lt -2
Et, comme 3 \gt 0, pour tout réel x :
3x \lt -2
\Leftrightarrow x \lt -\dfrac{2}{3}
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation est :
S = \left]- \infty ; -\dfrac{2}{3} \right[